Question

15．如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，对角线AC、BD相交于点O，动点P、Q分别从点C、A同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿C→O→B运动．到点B停止，点Q沿A→D→C运动，到点C停止．连接AP、AQ、PQ，设△APQ的面积为y（cm²）（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q的运动时间为x（s）．
（1）填空：BO=$\frac{5}{2}$cm；
（2）当PQ∥CD时，求x的值；
（3）当$\frac{5}{2}≤x≤7$时，求y与x之间的函数关系式；
（4）直接写出在整运动过程中，使AQ=PQ的所有x的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得出AC=5，进而得出OB的长度；
（2）根据相似三角形的判定和性质进行解答即可；
（3）分三种情况利用相似三角形的判定和性质进行解答；
（4）分点P、Q在不同位置，根据等腰三角形的性质解答出x的值即可．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
∴BO=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$，
（2）如图1：
∵PQ∥CD，
∴△APQ∽△ACD，
∴$\frac{AQ}{AD}=\frac{AP}{AC}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{5-x}{5}$，
∴$x=\frac{20}{9}$；
（3）如图2，当$\frac{5}{2}≤x≤4$时，过点P作PE⊥AD，垂足为点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠PED=90°，
∴PE∥AB，
∴△DPE∽△DBA，
∴$\frac{PE}{AB}=\frac{DP}{DB}$，
∴$\frac{PE}{3}=\frac{x}{5}$，
∴PE=$\frac{3}{5}x$，
∴${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}•AD•PE=\frac{1}{2}x•\frac{3}{5}x=\frac{3}{10}{x}^{2}$，
∴$y=\frac{3}{10}{x}^{2}$，
如图3，当4＜x≤5时，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，延长FP交CD于点G，
则PF∥AD，
∵△BPF∽△BDA，
∴$\frac{PF}{AD}=\frac{BP}{BD}$，
∴$\frac{PF}{4}=\frac{5-x}{5}$，
∴$PF=\frac{4}{5}（5-x）=4-\frac{4}{5}x$，
∴$PG=\frac{4}{5}x$，
∴S_{四边形PQCB}=S_△BCD-S_△PQD=$\frac{1}{2}CD•BC-\frac{1}{2}DQ•PG=\frac{1}{2}×3×4-\frac{1}{2}×\frac{4}{5}x（x-4）=-\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x+6$，
∴$y=\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x+6$；
∴S_△APQ=S_矩形ABCD-S_△ABP-S_△ADQ-S_{四边形PQCB}
=$3×4-\frac{1}{2}×3（4-\frac{4}{5}x）-\frac{1}{2}×4（x-4）-（-\frac{2}{5}{x}^{2}+\frac{8}{5}x+6）$
=$\frac{2}{5}{x}^{2}-\frac{12}{5}x+8$，
∴$y=\frac{2}{5}{x}^{2}-\frac{12}{5}x+8$；
如图4，当5＜x≤7时，过点Q作QH⊥AB，垂足为点H，则QH=AD=4，
∴${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}•AB•QH=\frac{1}{2}×3×4=6$，
∴S=6，
综上所述$y=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{10}{x}^{2}（\frac{5}{2}≤x≤4）}\\{\frac{2}{5}{x}^{2}-\frac{12}{5}x+8（4＜x≤5）}\\{6（5＜x≤7）}\end{array}\right.$，
（4）AQ=PQ，
当点P在OC上时，如图5，作QH⊥AC于H，
则AH=HQ，△AHQ∽△ADC，
∴$\frac{AH}{AQ}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{5}$，
∵AQ=CP=x，
∴AH=$\frac{4}{5}$x，
∴$\frac{4}{5}$x+$\frac{4}{5}$x+x=5，
解得，x=$\frac{25}{13}$；
当Q与D重合时，如图6，AQ=4，QP=4，
∴x=4时，AQ=PQ；
当点P停止运动，Q运动到CD的中点时，如图7，
AQ=PQ，则△ADQ≌△BCQ，
∴DQ=QC，
∴AQ=$\frac{11}{2}$，
此时，x=$\frac{11}{2}$，
∴$x=\frac{25}{13}，x=4，x=\frac{11}{2}$时，AQ=PQ．

点评 此题考查的是四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．