Question

7．先阅读理解下面的例题．再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式x²-4＞0．
解：∵x²-4=（x+2）（x-2），
∴x²-4＞0可化为（x+2）（x-2）＞0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{x-2＞0}\end{array}\right.$，②$\left\{\begin{array}{l}{x+2＜0}\\{x-2＜0}\end{array}\right.$解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜-2．
∴x²-4＞0的解集为x＞2或x＜-2，
即一元二次不等式x²-4＞0的解集为x＞2或x＜-2
（1）一元二次不等式x²-16＞0的解集为x＞4或x＜-4；
（2）分式不等式$\frac{x-1}{x-3}$＞0的解集为x＞3或x＜1；
（3）解一元二次不等式2x²-3x＜0；
（4）求使代数式$\sqrt{{x}^{2}-1}$有意义的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（2）根据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；
（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；
（4）由题意得出x²-1＞0将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可．

解答 解：（1）∵x²-16=（x+4）（x-4）
∴x²-16＞0可化为
（x+4）（x-4）＞0
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得
$\left\{\begin{array}{l}{x+4＞0}\\{x-4＞0}\end{array}\right.$①，
$\left\{\begin{array}{l}{x+4＜0}\\{x-4＜0}\end{array}\right.$②，
解不等式组①，得x＞4，
解不等式组②，得x＜-4，
∴（x+4）（x-4）＞0的解集为x＞4或x＜-4，
即一元二次不等式x²-16＞0的解集为x＞4或x＜-4．

（2）∵$\frac{x-1}{x-3}$＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-1＜0}\\{x-3＜0}\end{array}\right.$，
解得：x＞3或x＜1

（3）∵2x²-3x=x（2x-3）
∴2x²-3x＜0可化为
x（2x-3）＜0
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得
$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2x-3＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{2x-3＞0}\end{array}\right.$②，
解不等式组①，得0＜x＜$\frac{3}{2}$，
解不等式组②，无解，
∴不等式2x²-3x＜0的解集为0＜x＜$\frac{3}{2}$；

（4）由题意得x²-1＞0，
（x+1）（x-1）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$①，$\left\{\begin{array}{l}{x+1＜0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$②，
解不等式组①，得x＞1，
解不等式组②，得x＜-1，
即x的取值范围为x＞1或x＜-1．

点评 本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．