Question

7．把一副三角板如图放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°，得到△D₁CE₁，这时AB与CD₁相交于点O，与D₁E₁相交于点F．
（1）在备用图中画出图形并标出相应的字母，并直接写出∠BOC的度数90度；
（2）求线段AD₁的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出∠BCO=45°，进而根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数；
（2）根据OFE₁=∠B+∠1，易得∠OFE₁的度数，进而得出∠4=90°，在Rt△AD₁O中根据勾股定理就可以求得AD₁的长．

解答 解：（1）如图乙所示，
∠BCO=60°-15°=45°，
∠BOC=180°-45°-45°=90°；

（2）如图乙所示，
∵∠3=15°，∠E₁=90°，
∴∠1=∠2=75°，
又∵∠B=45°，
∴∠OFE₁=∠B+∠1=45°+75°=120°；
∴∠D₁FO=60°，
∵∠CD₁E₁=30°，
∴∠4=90°，
又∵AC=BC，∠A=45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
∵∠ACB=90°，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3（cm），
又∵CD₁=7（cm），
∴OD₁=CD₁-OC=7-3=4（cm），
在Rt△AD₁O中，AD₁=$\sqrt{O{A}^{2}+{OD}_{1}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5（cm）．
故答案为：90．

点评 本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，能熟练应用勾股定理，并且掌握旋转前后的两个图形完全相等．