Question

9．已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts．
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，然后由三角形的面积公式得到等积式，即可得到结果；
（2）①当点P在BC上时，求得t=$\frac{12}{2}$=6s，②当点P在AB上时，分三种情况：当AC=AP时，即10-（2t-6-8）=6，求得t=9，当AC=CP=6时，即$\frac{1}{2}$[10-（2t-6-8）]=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$，求得t=8.4，当AP=CP=10-（2t-6-8）时，即10-（2t-6-8）=5，求得t=9.5，
（3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′则A′N就是AM+MN的最小值，根据三角形的中位线即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，
∴AC²+BC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵CD为AB边上的高，
∴AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8cm；

（2）①当点P在BC上时，
∵∠ACB=90°，
若△ACP为等腰三角形，只有AC=PC=6，
∴t=$\frac{12}{2}$=6s，
②当点P在AB上时，
∵△ACP为等腰三角形，
∴分三种情况：当AC=AP时，即10-（2t-6-8）=6，解得：t=9，
当AC=CP=6时，即$\frac{1}{2}$[10-（2t-6-8）]=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$，解得：t=8.4，
当AP=CP=10-（2t-6-8）时，即10-（2t-6-8）=5，解得：t=9.5，
综上所述：t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形；

（3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′
则A′N就是AM+MN的最小值，
∵CD⊥AB，
∴CD∥A′N，
∵AC=CA′，
∴AD=DN，
∴A′N=2CD=9.6，
即AM+MN的最小值=9.6．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．