【题目】如图1，在平面直角坐标系中，有矩形AOBC，点A、B的坐标分别为（0，4）、（10,0），点P的坐标为（2，0），点M在线段AO上，点N在线段AC上，总有∠MPN=90 ，点M从点O运动到点A，当点M运动到A点时，点N与点C重合（如图2）。令AM=x
（1）.直接写出点C的坐标___________；
（2）、①设MN2=y，请写出y关于x的函数关系式，并求出y的最小值；
②连接AP交MN于点D，若MN⊥A P，求x的值；
（3）、当点M在边AO上运动时，∠PMN的大小是否发生变化？请说明理由.
图1 图2
【答案】（1）点C的坐标为（10，4）（2）①x=4时，y有最小值20；②
；（3）不发生变化.
【解析】（1）由已知条件求出点C的坐标；（2）过N点作NQ⊥OP的辅助线，利用相似三角形得出二次函数解析式，再求出y的最小值；（3）利用A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上，（或求tan∠PMN为一定值），判断∠PMN的大小是否发生变化.
（1）点C的坐标为（10，4）
（2）①过N点作NQ⊥OP，垂足为Q
∴△POM∽△NQP，
∴
∴PQ=8－2x
∴MN2=AM2+ AN2
∴y= x2+(10－2 x) 2=5 x 2－40 +100=5(x－4) 2+20(0≤x≤4)
∴当x=4时，y有最小值20；
②取MN的中点E，连AE、PE，
∵∠MAN=∠MPN=90°
∴A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上
由垂径定理可知AD=PD，∴AM=PM=x
在Rt△POM中，
∴
， 解得
（3）∠PMN的大小不发生变化
方法1，∵A、M、P、N在以MN为直径的⊙E上
∴∠PMN=∠PAN
∴∠PMN的大小不发生变化
方法2，∵△POM∽△NQP
∴tan∠PMN=
=2
∴∠PMN的大小不发生变化
“点睛”此题考查矩形的性质，二次函数，相似三角形，垂径定理，勾股定理以及关于点运动变化变化的情况，解题时要多角度考虑解法．
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【题目】如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=5时，这两个二次函数的最大值之和等于______________。
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【题目】如图，在一次数学课外实践活动中，要求测量山坡前某建筑物的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，然后沿倾斜角为30°的山坡向上前进20m到达E，重新安装好测角仪后又测得该建筑物顶端A的仰角为60°．求该建筑物的高度AB．（结果保留根号）
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【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=
，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
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【题目】如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
（1）求这条抛物线对应的函数解析式；
（2）求直线AB对应的函数解析式．
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