Question

如图，在△ABC中，AC=BC，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于D．求证：
（1）BE=AE；
（2）

AB

AC

=

AE

ED

．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：（1）根据E是内心，可得出∠CAD=∠BAD，进而得出∠CAB=∠CBA，则∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，即可得出答案；
（2）根据题意得出△ABC∽△EBD，进而求出即可．

解答：证明：（1）∵E是内心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，
∴BE=AE，

（2）∵∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，∠DAB+∠EBA=∠DEB，
∴∠CAB=∠DEB，
∵∠C=∠D，
∴∠CBA=∠DBE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEB=∠DBE
∴△ABC∽△EBD，
∴

AB

AC

=

BE

DE

，
∴

AB

AC

=

AE

ED

．

点评：本题考查了三角形的内心、等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，得出△ABC∽△EBD是解题关键．