Question

如图，等边△ABC的边长为8，点O为边AC的四等分点（AO＜CO），点P为边AB上一动点，连接OP．将△AOP绕点O逆时针旋转，得到△A′OP′，且使得点A′落在边AB上，当点P′落在边BC上时，则AP的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再利用点O为边AC的四等分点（AO＜CO）得到OA=2，OC=6，由于△AOP绕点O逆时针旋转得到△A′OP′，点A′落在边AB上，点P′落在边BC上，则根据旋转的性质得OA′=OA，OP′=OP，∠AOA′=∠POP′，于是可判断△OAA′为等边三角形，得到∠AOA′=60°，则∠POP′=60°，接着根据三角形外角性质可证明∠APO=∠COP′，然后根据“AAS”判断△APO≌△COP′，所以AP=CO=6．

解答：解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵点O为边AC的四等分点（AO＜CO），
∴OA=2，OC=6，
∵△AOP绕点O逆时针旋转，得到△A′OP′，点A′落在边AB上，点P′落在边BC上，如图，
∴OA′=OA，OP′=OP，∠AOA′=∠POP′，
∴△OAA′为等边三角形，
∴∠AOA′=60°，
∴∠POP′=60°，
∵∠POC=∠A+∠APO，
即60°+∠COP′=60°+∠APO，
∴∠APO=∠COP′，
在△APO和△COP′中

∠A=∠C ∠APO=∠COP′ OP=P′C

，
∴△APO≌△COP′，
∴AP=CO=6．
故答案为6．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．