Question

8．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC=∠D，过A、B、C三点作⊙O交AD于点E，C是$\widehat{AEB}$的中点，CF⊥AD于点F．
（1）若∠BEA=30°，AB=3，求⊙O的半径；
（2）若BE=5，AE=3，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA、OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AOB的度数，然后根据有一个角为60°等腰三角形是等边三角形，判断△AOB为等边三角形，进而可求半径的长；
（2）连接AC、CE，由圆内接四边形的性质可得：∠CED=∠ABC，然后根据等量代换可得：∠D=∠CED，然后根据等角对等边可得CD=CE，然后根据等腰三角形的三线合一，可得DF=$\frac{1}{2}$DE，然后根据AAS判断△CBE≌△CAD可得：BE=AD=5，进而可求DF的长．

解答 （1）解：连接OA、OB，如图1，

∵∠BEA=30°
∴∠BOA=60°
又∵OB、OA都是半径
∴OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴OB=AB=3
∴半径为3
（2）连接CE，AC，如图2，

∴∠ABC=∠CED，
∵C是$\widehat{AEB}$的中点，
∴AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=∠BEC，∠D=∠ABC=∠CED，
∴△CED为等腰三角形，
∵CF⊥AD，
∴DF=EF=$\frac{1}{2}$DE，
在△CBE和△CAD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠CEB}\\{∠CBE=∠CAD}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CAD（AAS）
∴BE=AD=5，
∴DF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$（AD-AE）=$\frac{1}{2}$（5-3）=1．

点评 此题考查了圆周角定理，等边三角形的判定，三角形全等的判定，等腰三角形判定与性质，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是：正确的添加辅助线解决问题．