Question

在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，CN，DM交于点O．
（1）求证：AM=BN；
（2）若AB=8，BC=6，求OM²+ON²的值．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）由在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，易证得△ADM与△BCN是等腰三角形，继而证得结论；
（2）首先由在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，CN，易求得△COD与△MON是直角三角形，然后由勾股定理求得OM²+ON²的值．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠CDM=∠AMD，∠DCN=∠BNC，
∵∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，
∴∠ADM=∠CDM，∠BCN=∠DCN，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCN=∠BNC，
∴AD=AM，BC=BN，
∴AM=BN；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分线分别交AB于M，N两点，
∴∠CDM=

1

2

∠ADC，∠DCN=

1

2

∠BCD，
∴∠CDM+∠DCN=

1

2

（∠ADC+∠BCD）=90°，
∴∠MON=∠COD=90°，
∵AB=8，BC=6，
∴AM=BN=BC=6，
∴MN=AM+BN-AB=6+6-8=4，
∴OM²+ON²=MN²=16．

点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．