【题目】已知抛物线C:y=x2+(2m﹣1)x﹣2m.
(1)若m=1,抛物线C交x轴于A,B两点,求AB的长;
(2)若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点,求m的取值范围;
【答案】(1)AB=3;(2)﹣1≤m≤0时,一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点.
【解析】
(1)求出抛物线解析式令y=0,求出抛物线与x轴的交点,即可求出线段AB的长.
(2)列方程组根据△=0,得:-4m2-4m=(k+1)2,设y=-4m2-4m由y≥O确定m的取值范围.
(1)m=1时,抛物线为:y=x2+x﹣2,
令y=0得到:x2+x﹣2=0,解得x=﹣2或1,
所以点A(﹣2,0),点B(1,0),
所以AB=3.
(2)由消去y得到:x2+(2m﹣1﹣k)x﹣2m﹣mk=0,
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点,
∴△=0,
∴(2m﹣1﹣k)2+8m+4mk=0,
整理得:﹣4m2﹣4m=(k+1)2 ,
∵(k+1)2≥0,
设y=﹣4m2﹣4m,当y≥0时,﹣1≤m≤0,
∴﹣1≤m≤0时,一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点.
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【题目】在直角坐标系中,A(m,0)为 x 轴负半轴上的点,B(0,n)为 y 轴负半轴上的点.
(1)如图,以 A 点为顶点,AB 为腰在第三象限作等腰 Rt△ABC.若已知 m= 2,n= 4,试求 C 点的坐标;
(2)若∠ACB=90°,点 C 的坐标为(4, 4),请在坐标系中画出图形并求 n﹣m 的值.
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【题目】如图,是将抛物线y=-x2 平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0) ,另一交点为B,与y轴交点为C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点N 为抛物线上一点,且BC⊥NC,求点N的坐标;
(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数y=x+的图象上一点,若四边形OAPQ为平行四边形,这样的点P、Q是否存在?若存在,分别求出点P、Q的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC是直径,过O作OD∥BC交AB于点D.延长DO交⊙O于点E,作EF⊥AC于点F.连接DF并延长交直线BC于点G,连接EG.
(1)求证:FC=GC;
(2)求证:四边形EDBG是矩形.
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【题目】二次函数的部分图象如图所示,图象过点,对称轴为直线,下列结论: ; ; ; 若点、点、点在该函数图象上,则; 若方程的两根为和,且,则其中正确的结论是______.
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【题目】某风景区内的公路如图1所示,景区内有免费的班车,从运河码头出发,沿该公路开往薰衣草庄园,途中停靠生态文化园(上下车时间忽略不计).第一班车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从运河码头发车.小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达运河码头,因还没到班车发车时间,于是从景区运河码头出发,沿该公路步行25分钟后到达生态文化园.离运河码头的路程(米)与时间(分)的函数关系如图2所示.
(1)求第一班车离运河码头的路程(米)与时间(分)的函数表达式.
(2)求第一班车从运河码头到达生态文化园所需的时间.
(3)小聪在生态文化园游玩40分钟后,想坐班车到薰衣草庄园,则小聪最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到薰衣草庄园,比他在生态文化园游玩结束后立即步行到薰衣草庄园提早了几分钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)
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【题目】 如图,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP(点A落在点E处),PE与CD相交于点O,且OE=OD.
(1)求证:△PDO≌△GEO;
(2)求DP的长.
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求证:四边形OCED是菱形;
(2)若∠BAC=30°,AC=4,求菱形OCED的面积.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以BC为半径作⊙B,交AB于点C,交AB的延长线于点E,连接CD、CE.
(1)求证:△ACD∽△AEC;
(2)当时,求tanE;
(3)若AD=4,AC=4,求△ACE的面积.
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