Question

15．已知关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x²+mx-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$=0有有理根，求k的值．

Answer 1

分析 若关于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，则△≥0，并且△为完全平方式，而△=m²-4×$\frac{1}{4}$[-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$]是完全平方式，得到关于k的方程，解出即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}$x²+mx-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$=0有有理根，
∴△=m²-4×$\frac{1}{4}$[-（k+1）m-k²-$\frac{3}{4}$k+$\frac{1}{4}$）]=m²+（k+1）m+k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$，
∴m²+（k+1）m+k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$是完全平方式，
∴k²+$\frac{3}{4}$k-$\frac{1}{4}$=（$\frac{k+1}{2}$）²，
解得：k=$\frac{2}{3}$，或k=-1．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根为有理根的条件判别式为完全平方数．