Question

【题目】已知：∠MAN＝60°，点B在射线AM上，AB＝4（如图）．P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B，P，Q按顺时针排列），O是△BPQ的外心．

（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在∠MAN的平分线上；

（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不重合）时，AO与BP交于点C，设AP＝x，AC﹒AO＝y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）若点D在射线AN上，AD＝2，圆I为△ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相切时，请直接写出点A与点O的距离．

Answer 1

【答案】 （1）详见解析；（2）y＝4x，其中自变量的取值范围为x＞0；（3））①当BP与圆I相切时，AO＝ ；②当BP与圆I相切时，AO＝；③当BQ与圆I相切时，AO＝0．

【解析】

（1）证O在∠MAN的平分线上，可证O到角两边的距离相等，分两种情况：①OB不与AM垂直，过O作OT⊥AN，OH⊥AM，可通过构建全等三角形来求解．连接OB，OP，则OB＝OP，只需证明△OHB与△OTP全等即可．这两个三角形中，已知的条件有OB＝OP，一组直角．只需再证得一组角对应相等即可，∠HOT和∠BOP都等于120°，因此∠BOH＝∠TOP，则两三角形全等，OT＝OH．由此得证；②当OB⊥AM时，由于OB＝OP，只需证明OP⊥AN即可．由于∠BOP＝120°，而∠ABO＝90°，∠MAN＝60°，根据四边形的内角和为360°，即可求得OP⊥AN，由此可得证；

（2）本题要通过相似三角形ACP和ABO来求解．这两个三角形中，已知了∠BAO＝∠CAP（在1题中已经证得），只需再找出一组对应角相等即可，在△ACP和△OBC中，∠CAP＝∠OBC＝30°，∠ACP＝∠BCO，因此∠APC＝∠AOB，由此证得两三角形相似，可得出关于AB，AC，AO，AP的比例关系式，据此可求出y，x的函数关系式；

（3）本题分三种情况：

①圆I在△BPQ外，且与BP边相切，此时D、P重合，AD＝AP＝2，AB＝4，∠MAN＝60°，因此△ABP为直角三角形，不难得出△ABO也是直角三角形，因此可得出△ABO≌△APB，AO＝BP＝2；②圆I在△BPQ内，与BP，PQ边相切时，此时P与A重合，可在直角三角形ODA中，根据AD＝2，∠DAO＝30°，求得AO＝；③圆I在△BPQ内，与BQ边相切时，A，O重合，因此AO＝0．

（1）证明：如图1，连接OB，OP．

∵O是等边三角形BPQ的外心，∴圆心角∠BOP＝＝120°．

当∠MAN＝60°，不垂直于AM时，作OT⊥AN，则OB＝OP．

由∠HOT＋∠A＋∠AHO＋∠ATO＝360°，且∠A＝60°，∠AHO＝∠ATO＝90°，

∴∠HOT＝120°，

∴∠BOH＝∠POT，

∴Rt△BOH≌Rt△POT．

∴OH＝OT，

∴点O在∠MAN的平分线上；

（2）如图2，

∵AO平分∠MAN，且∠MAN＝60°，

∴∠BAO＝∠PAO＝30°，

由（1）知，OB＝OP，∠BOP＝120°，

∴∠CBO＝30°，

∴∠CBO＝∠PAC，

∵∠BCO＝∠PCA，

∴∠AOB＝∠APC，

∴△ABO∽△ACP，

∴，

∴AC﹒AO＝AB﹒AP，

∴y＝4x，其中自变量的取值范围为：x＞0；

（3）①如图3，当BP与圆I相切时，AO＝；

②如图4，当BP与圆I相切时，AO＝；

③如图5，

当BQ与圆I相切时，AO＝0．