Question

20．如图，直线AB与反比例函数的图象交于A（-4，m）、B（2，n）两点，点C在x轴上，AO=AC，△OAC的面积为8．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求cos∠OBA的值．

Answer 1

分析 （1）因为△ACO是等腰三角形，根据三角形面积公式即可求出m，得点A坐标，用待定系数法可以求出反比例函数的解析式．
（2）欲求cos∠OBA，因为cos∠OBA=$\frac{BE}{OB}$，只要求出OB、BE即可，利用两点间距离公式可求出OB、BE．

解答 解：（1）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，
∵△OAC的面积为8，AO=AC，A（-4，m）
∴点C（-8，0），$\frac{1}{2}$•8•m=8，
∴m=2，
∴点A（-4，2），
∵反比例函数的图象经过A（-4，2）、B（2，n）两点，
∴k=-8，n=-4，
∴点B坐标（2，-4），
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{x}$．
（2）如图作OE⊥AB于E，由（1）可知，OA=OB=2$\sqrt{5}$，AB=6$\sqrt{2}$，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴AE=EB=3$\sqrt{2}$，
∴cos∠OBA=$\frac{EB}{BO}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角函数等知识，学会待定系数法求函数解析式，记住三角函数的定义，构造直角三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．