Question

【题目】某工厂准备翻建新的大门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线.已知厂门的最大宽度AB=12m，最大高度OC=4m，工厂的运输卡车的高度是3m，宽度是5.8m.现设计了两种方案.方案一：建成抛物线形状（如图1）；方案二：建成圆弧形状（如图2）.为确保工厂的卡车在通过厂门时更安全，你认为应采用哪种设计方案？请说明理由.

Answer 1

【答案】解：第一方案：设抛物线的表达式是y=a(x+6)(x6)，

因C(0，4)在抛物线的图象上，代入表达式，得a= .

故抛物线的表达式是y= x2+4.

把第一象限的点(t，3)代入函数，得3= t2+4，

∴t=3，

∴当高度是3m时，最大宽度是6m.

第二方案：

由垂径定理得：圆心O′在y轴上(原点的下方)

设圆的半径是R，在Rt△OAO′中，由勾股定理得：62+(R4)2=R2，

解得R=6.5，

当高度是3m时，最大宽度= =4 ≈6.9m

根据上面的计算得：为了工厂的特种卡车通过厂门更安全，所以采用第二种方案更合理.

【解析】方案一、根据已知中的AB的长，可得出此抛物线与x轴的两交点A、B的坐标，设函数解析式为交点式，再将点C的坐标代入解析式，即可求出函数解析式，然后将y=3代入求出对应的自变量的值，可得出最大宽度为6m；方案二、根据题意可知圆点在y轴的（原点）下方，连接O′A，根据垂径定理求出OA的长，然后在Rt△OAO′中，根据勾股定理建立关于R的方程，求解得出圆的半径长，再根据工厂的运输卡车的高度是3m，求出最大宽度，则宽度较大的设计方案能保工厂的卡车在通过厂门时更安全。
【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和垂径定理，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧即可以解答此题．