Question

如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，且AD+BC=CD．
（1）求证：以CD为直径的圆与AB相切；
（2）求证：以AB为直径的圆与CD相切．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）首先过点O作OE⊥AB于点E，易得OE是梯形ABCD的中位线，又由AD+BC=CD，即可得OC=OD=OE，则可判定AB与⊙O相切；
（2）首先过点O′作O′F⊥CD于点F，过点O′作O′M∥AD，易证得△AO′D≌△FO′D（AAS），即可得O′F=O′A=

1

2

AB，则可判定CD与⊙O′相切．

解答：证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=∠B=90°，
即DA⊥AB，CB⊥AB，
∴AD∥OE∥BC，
∴OE是梯形ABCD的中位线，
∴OE=

1

2

（AD+BC），
∵AD+BC=CD，
∴OC=OD=

1

2

CD=

1

2

（AD+BC），
∴OC=OD=OE，
∴AB与⊙O相切；

（2）过点O′作O′F⊥CD于点F，过点O′作O′M∥AD，
∴O′M是梯形ABCD的中位线，
∴O′M=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD=DM，
∴∠O′DM=∠DO′M，
∵AD∥O′M，
∴∠ADO′=∠DO′M=∠O′DM，
∵在△AO′D和△FO′D中，

∠ADO′=∠FDO′ ∠A=∠O′FD=90° O′D=O′D

，
∴△AO′D≌△FO′D（AAS），
∴O′F=O′A=

1

2

AB，
即CD与⊙O′相切．

点评：此题考查了切线的判定、梯形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．