Question

【题目】把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、BH=CK；四边形CHGK的面积不变；证明过程见解析；(2)、y=-2x+4(0＜x＜4)；(3)、x=1或x=3.

【解析】

试题（1）连接CG，根据中线的性质得出CG=BG，CG⊥AB，根据旋转图形的性质得出△BGH和△CGK全等，将四边形的面积转化成△CHG的面积+△CGK的面积，根据全等得出△CHG的面积+△BGH的面积，即△ABC面积的一半；（2）连接HK，则BK=CK=x，CH=4－x，根据△GHK的面积=四边形CHGK的面积-△CHK的面积求出函数关系式；（3）根据（2）中的结论列出一元二次方程，然后求出x的值．

试题解析：（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变。

证明：连接CG，

∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，

∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，

在△BGH与△CGK中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA）， ∴BH=CK，△BGH的面积=△CGK的面积．

∴四边形CHGK的面积=△CHG的面积+△CGK的面积=的面积△CHG+△BGH的面积=S△ABC=××4×4=4

即：四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

（2）∵AC=BC=4，BK=x，∴CH=4-x，CK=x，连接HK．

由△GHK的面积=四边形CHGK的面积-△CHK的面积，得y=4-x（4-x）=-2x+4 由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；

（3）存在．根据题意，得-2x+4=×8 解这个方程，得=1，=3，

即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的。