Question

【题目】 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

(1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示)；

(3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），x＝1；（2）y＝ax+a；（3）；（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，（1，﹣）或（1，﹣4）．

【解析】

（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y＝kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k＝a，得到直线l的函数表达式为y＝ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF＝ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．

（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

对称轴为直线x＝＝1；

（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），

∴0＝﹣k+b，

即k＝b，

∴直线l：y＝kx+k，

∵抛物线与直线l交于点A，D，

∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，

即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，

∵CD＝4AC，

∴点D的横坐标为4，

∴﹣3﹣＝﹣1×4，

∴k＝a，

∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；

（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则F（x，ax+a），

∴EF＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF＝（ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣4a）x＝（ax2﹣3ax﹣4a）＝a（x﹣）2﹣a，

∴△ACE的面积的最大值＝﹣a，

∵△ACE的面积的最大值为，

∴﹣a＝，

解得；

（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，

令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，

解得：x1＝﹣1，x2＝4，

∴D（4，5a），

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

设P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），

∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ是矩形，

∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，

即a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣，

∴P（1，﹣）；

②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），

∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），

∵四边形APDQ是矩形，

∴∠APD＝90°，

∴AP2+PD2＝AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，

即a2＝，

∵a＜0，

∴a＝﹣ ，

∴P（1，﹣4），

综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．