【题目】如图在平面直角坐标系中,四边形是菱形,点的坐标为,平行于对角线的直线从原点出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线与菱形的两边分别交于点、,直线运动的时间为(秒).
(1)求点的坐标;
(2)当时,求的值;
(3)设的面积为,求与的函数表达式,并确定的最大值.
【答案】(1);
(2)或t=;
(3)S= ,当t=5时,S最大值=10.
【解析】
(1)过点C作CH⊥OA于H,由勾股定理求出OC,得出CB,即可得出结果;
(2)分两种情况:①当0≤t≤5时,由菱形的性质得出OA=AB=BC=OC=5,OC∥AB,再由平行线得出△OMN∽△OAC,得出比例式求出OM即可;
②当5≤t≤10时,设直线MN与OA交于点E.,同①可得AM= ,再证出△AEM∽△OAC.得出对应边成比例求出AM=AE,得出OE即可;
(3)分两种情况①当0≤t<5时,求出△OAC的面积,再由相似三角形的性质得出 ,即可得出结果;
②当5≤t≤10时,过点M作MT⊥x轴于T,由△BMN∽△AME可知,MT=(t-5),得出S△OMN=S△ONE-S△OME=-(t-5)2+10,即可得出结果.
解:(1)过点作于,如图1所示:
∵,
∴,,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,,
∴点的坐标为;
(2)分两种情况:
当时,如图2所示:
∵四边形是菱形,
∴,.
∵,
∴,
∴.
∵,
∴
∴,
∴.
②当5≤t≤10时,如图3所示:
设直线MN与OA交于点E.,同①可得AM=.
∵OC∥AB,MN∥AC,
∴∠COA=∠MAE,∠CAO=∠MEA,
∴△AEM∽△OAC.
∴ ,
∵OC=OA,
∴AM=AE,
∴OE=OA+AE= ,
∴t=.
综上所述:
t=或t=;
(3)分两种情况:
①当0≤t<5时(如图1),
S△OAC=OACH=10,
∵△OMN∽△OAC,
∴,即
∴S=t2(0≤t<5);
②当5≤t≤10时,过点M作MT⊥x轴于T,如图4所示:
由△BMN∽△AME可知,MT=(t-5),
∴S△OMN=S△ONE-S△OME=-(t5)2+10;
综上所述:S= ,
∴当t=5时,S最大值=10.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=2,将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形EBGF,此时恰好四边形AEHB为菱形,连接CH交FG于点M,则HM的长度为( )
A. B. 2 C. D. 1
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上,且OE=OC.
(1)求证:∠1=∠2;
(2)连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状,并说明理由.
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【题目】在20km越野赛中,甲乙两选手的行程y(单位:km)随时间x(单位:h)变化的图象
如图所示,根据图中提供的信息,有下列说法:
①两人相遇前,甲的速度小于乙的速度; ②出发后1小时,两人行程均为10km;
③出发后1.5小时,甲的行程比乙多3km; ④甲比乙先到达终点.
其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】在甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字0,1,2;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2,0;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为x,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为y,确定点M坐标为(x,y).
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标;
(2)求点M(x,y)在函数y=-x+1的图象上的概率;
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【题目】如图抛物线交x轴于点、,交轴于点;
(1)求抛物线的解析式;
(2)点从点A出发,以1个单位/秒的速度向终点运动,同时点从点C出发,以相同的速度沿轴正方向向上运动,运动的时间为秒,当点到达点时,点也停止运动,设的面积为,求与间的函数关系式并直接写出的取值范围;
(3)在(2)的条件下,当点在线段上时,设交直线于点,过作于点,求的长.
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【题目】自我省深化课程改革以来,某校开设了:A.利用影长求物体高度,B.制作视力表,C.设计遮阳棚,D.制作中心对称图形,四类数学实践活动课.规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课,学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查,将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息解决下列问题:
(1)本次共调查名学生,扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为度;
(2)补全条形统计图;
(3)选修D类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色,现从4人中随机抽取2人做校报设计,请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率.
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【题目】如图,一次函数 与轴,轴交于两点,与反比例函数相交于两点,分别过两点作轴,轴的垂线,垂足为,连接,有下列四个结论:①与的面积相等;②∽;③;④,其中正确的结论个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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