Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BC=4，作DE⊥BC于点E，将△DEC沿直线DE折叠，点C落在CB的延长线上F处，DF交BC于点G．设AD=x，其中0＜x＜2．
（1）用含有x的代数式表示BF的长．
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．并指出当x为何值时，S有最大值．

Answer 1

考点：梯形,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据折叠的性质即可求得BF的值；
（2）根据二次函数的最值问题可以求得S在x=-

b

2a

时，有最大值，即可解题．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是矩形，
∴AD=BE=x，AB=DE，∠DEC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠EDC=∠C=45°，
∴DE=EC=4-x，BF=4-2x；
（2）将△DEC沿直线DE折叠，点C落在CB的延长线上F处，BC=4，BE=AD=x，
∴EC=EF=4-x，
∵AB∥DE，
∴△FBG∽△FED，
∴

FB

EF

=

4-2x

4-x

，
S=

1

2

[（4-x）²-（4-2x）²]=

1

2

[8x-3x²]，
当x=-

b

2a

=

4

3

，S有最大值．

点评：本题考查了相似三角形对应边比例相等的性质，考查了二次函数求最值问题．