Question

小明对直角三角形很感兴趣．△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上任意一点，连接DC，作DE⊥DC，EA⊥AC，DE与AE交于点E．请你跟着他一起解决下列问题：
（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，则DE，DC有什么数量关系？请给出证明．
（2）如果换一个直角三角形，如图2，∠CBA=30°，则DE，DC又有什么数量关系？请给出证明．
（3）由（1）、（2）这两种特殊情况，小明提出问题：如果直角三角形ABC中，BC=mAC，那DE，DC有什么数量关系？请给出证明．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由条件可证得△CDF∽△EDG，且相似比为1，所以可得出DC=DE；
（2）由（1）的方法可证得△CDF∽△EDG，且相似比为

3

，所以可得DC=

3

DE；
（3）同（2）的方法可证得△CDF∽△EDG，且相似比为m，所以可得DC=mDE．

解答：解：（1）DE=DC．过点D作DG⊥AC于点G，DF⊥AE于点F，由EA⊥AC，
可知四边形AGDF为矩形，
所以DG=FA．而DF∥BC，
所以DF=AF，即DG=DF；
又因为DE⊥DC，
所以∠CDE-∠EDF=∠FDG-∠EDF，
即∠CDF=∠EDG，
所以△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=1，
即DE=DC；
（2）DC=

3

DE．同理，由∠CDF=∠EDG，可证△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=

DF

FA

=

BC

AC

=

3

，所以DC=

3

DE；
（3）DC=mDE．同理，由∠CDF=∠EDG，可证△CDF∽△EDG，

DC

DE

=

DF

DG

=

DF

FA

=

BC

AC

=m，所以DC=mDE．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．