Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

2

3

x2+

4

3

x+2交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线的顶点及对称轴；
（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；
（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；
（4）过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．

解答：解：（1）令y=0，则-

2

3

x²+

4

3

x+2=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点B的坐标为（3，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标为（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，则

3k+b=0 b=2

，
解得

k=- 2 3 b=2

，
所以，直线BC的解析式为y=-

2

3

x+2；

（2）∵y=-

2

3

x²+

4

3

x+2，
=-

2

3

（x²-2x+1）+2+

2

3

，
=-

2

3

（x-1）²+

8

3

，
∴顶点坐标为（1，

8

3

），
对称轴为直线x=1；

（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点，
x=1时，y=-

2

3

×1+2=

4

3

，
所以，存在Q（1，

4

3

），使线段AQ+CQ最小；

（4）如图，过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，
则PD=（-

2

3

x²+

4

3

x+2）-（-

2

3

x+2）=-

2

3

x²+2x，
所以，S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD，
=

1

2

×（-

2

3

x²+2x）×3，
=-x²+3x，
=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
所以，当x=

3

2

时，△PBC的面积最大为

9

4

，
此时，y=-

2

3

×（

3

2

）²+

4

3

×

3

2

+2=

5

2

，
所以，存在P（

3

2

，

5

2

），使S_△PBC最大=

9

4

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．