Question

如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于点C，D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC及AD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）作OE⊥AB，根据垂径定理可知AE=BE，CE=DE，由此可得出结论；
（2）连接OC，OA，根据OE⊥AB且OE⊥CD可得OE=6，CE=DE，再根据勾股定理求出CE及AE的长，进而可得出结论．

解答：（1）证明：作OE⊥AB，
∴AE=BE，CE=DE，
∴BE-DE=AE-CE，即AC=BD；     

（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，
∴OE=6，CE=DE，
∴DE=CE=

OC2-OE2

=

82-62

=2

7

，
AE=

OA2-OE2

=

102-62

=8，
∴AC=AE-CE=8-2

7

，
∴AD=AE+DE=8+2

7

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．