Question

19．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一个动点，连接BD．将线段BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，连接ED．若BC=2，则△AED的周长最小值是2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作BH⊥AC于H，如图，利用等边三角形的性质可计算出BH=$\sqrt{3}$，再根据旋转的性质得BE=BD，∠DBE=60°，则可判断△DBE为等边三角形，所以∠DBE=60°，DE=DB，由于BA=BC，∠ABC=60°，则根据旋转的定义可把△CBD绕点B逆时针旋转60°得到△ABE，则AE=CD，所以△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=2+BD，利用垂线段最短得点D运动到点H时，BD最小，最小值为$\sqrt{3}$，于是得到△AED的周长最小值为2+$\sqrt{3}$．

解答 解：作BH⊥AC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC=2，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵线段BD绕点B逆时针旋转60°得到BE，
∴BE=BD，∠DBE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴∠DBE=60°，DE=DB，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴△CBD绕点B逆时针旋转60°得到△ABE，
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD=2+BD，
∵D是边AC上一个动点，
∴当点D运动到点H时，BD最小，最小值为$\sqrt{3}$，
∴△AED的周长最小值为2+$\sqrt{3}$．
故答案为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．