Question

【题目】定理描述

（1）如图1，用文字语言或符号语言叙述三角形中位线性质定理的内容．

．

证法回顾

证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成．下列是其中一种证法的添加辅助线方法：

添加辅助线，如图2，在△ABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．

（2）上述证法中，证明三角形中位线定理中的DE∥BC的依据是（ ）

A．同位角相等，两直线平行．

B．平行四边形对边平行．

C．同旁内角互补，两直线平行．

D．平行于同一条直线的两条直线互相平行

拓展延伸

（3）利用证明三角形中位线定理获得的经验解决下面的问题：

如图3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，过点D、E作DF∥EG，分别交BC于F、G，过点A作MN∥BC，分别与FD、GE的延长线交于M、N，则四边形MFGN周长的最小值是

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）B；（3）见解析.

【解析】

（1）分别运用文字语言和符号语言表述即可；

（2）作出图形，然后写出已知、求证，延长DE到F，使DE=EF，利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠ADE，再求出BD=CF，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DF∥BC，DF=BC；

（3）先判断出四边形MFGN是平行四边形，再判断出MN=FG=DE=4，进而判断出MF⊥BC时，四边形MFGN的周长最小，最后构造出直角三角形求出AH即可得出结论．

（1）文字语言：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

符号语言：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC， DE∥BC

（2）已知：△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，

求证：DE=BC，DE∥BC，

证明：如图，延长DE到F，使DE=EF，连接CF，

∵点E是AC的中点，

∴AE=CE，

在△ADE和△CEF中，

，

∴△ADE≌△CEF（SAS），

∴AD=CF，∠ADE=∠F，

∴AB∥CF，

∵点D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∴BD∥CF，

∴四边形BCFD是平行四边形，

∴DF∥BC，DF=BC，

∴DE∥BC且DE=BC．

故答案为：B．

（3）如图，

∵MN∥BC，FM∥GN，

∴四边形MFGN是平行四边形，

∴MF=NG，MN=FG，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=BC=4，DE∥BC，

∴MN=FG=BC=4，

∴四边形MFGN周长=2（MF+FG）=2MF+8，

∴MF⊥BC时，MF最短，

即：四边形MFGN的周长最小，

过点A作AH⊥BC于H，

∴FM=AH

在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，

∴AH==5，

∴四边形MFGN的周长最小为2MF+8=10+8．

故答案为10+8．