【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,﹣3).
(1)如图,过点A分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为B,C,得到矩形ABOC,且抛物线经过点C.
①求抛物线的解析式.
②将抛物线向左平移m(m>0)个单位,分别交线段OB,AC于D,E两点.若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积,求m的值.
(2)将抛物线平移,使点A的对应点为A1(2﹣n,3b),其中n≥1.若平移后的抛物线仍然经过点A,求平移后的抛物线顶点所能达到最高点时的坐标.
【答案】(1)①y=x2﹣2x﹣3;②m=;(2)顶点坐标(0,﹣7).
【解析】
(1)①将A(2,﹣3),B(2,0)代入y=x2+bx+c即可求出;
②因为直线DE刚好平分矩形ABOC的面积,所以AE=OD=m,DB=CE=2﹣m,D(m,0),E(2﹣m,﹣3),易知F(3,0),所以DF=3﹣m,于是3﹣m=m,从而求出m;
(2)由抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,﹣3),可得y=x2+bx﹣2b﹣7,由A的对应点为A1(2﹣n,3b),可知抛物线向左平移了n个单位,向上平移(3b+3)个单位,则平移后y=(x+n)2+b(x+n)﹣2b﹣7+3b+3,整理后根据平移后的抛物线仍然经过点A(2,﹣3),继而可求得b=﹣n﹣1,进而可求得顶点坐标.
(1)①∵四边形ABOC是矩形,A(2,﹣3),
∴B(2,0),C(0.﹣3),
∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C,
∴, 解得:,
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3;
②如图,设原抛物线与x轴正半轴交于点F,
∵直线DE刚好平分矩形ABOC的面积,
∴AE=OD=m,DB=CE=2﹣m
∴D(m,0),E(2﹣m,﹣3)
∵易知F(3,0),
∴DF=3﹣m,
∵DF=AE,
∴3﹣m=m,
∴m=;
(2)抛物线y=x2+bx+c经过点A(2,﹣3).
﹣3=22+2b+c,
∴c=﹣2b﹣7,
∴y=x2+bx﹣2b﹣7,
∵A的对应点为A1(2﹣n,3b),
∴抛物线向左平移了n个单位,向上平移(3b+3)个单位
则平移后y=(x+n)2+b(x+n)﹣2b﹣7+3b+3,
整理得y=(x+n)2+b(x+n)+b﹣4=(x+n+)2﹣+b﹣4,
∵平移后的抛物线仍然经过点A(2,﹣3),
∴﹣3=(2+n)2+b(2+n)+b﹣4,
∴n2+4n+3+b(3+n)=0,
∴(n+1(n+3))+b(n+3)=0,
(
∵n≥1,∴n+3>0,
∴n+1+b=0,b=﹣n﹣1,
顶点坐标(﹣n﹣,﹣ +b﹣4),
y顶=﹣+b﹣4=﹣(b﹣2)2﹣3=﹣(n+3)2﹣3,
∵n≥1,-<0,
∴n=1时,顶点最高,此时b=﹣1﹣1=﹣2,
顶点坐标(0,﹣7).
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【题目】定义:有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.
概念理解:
①在互补四边形中,与是一组对角,若则 _
②如图1,在中,点分别在边上,且求证:四边形是互补四边形.
探究发现:如图2,在等腰中,点分别在边上, 四边形是互补四边形,求证:.
推广运用:如图3,在中,点分别在边上,四边形是互补四边形,若,求的值.
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【题目】某中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动,通过对学生的随机抽样调查得到一组数据,如图是根据这组数据绘制成的不完整统计图.
(1)把折线统计图补充完整;
(2)求出扇形统计图中,公务员部分对应的圆心角的度数;
(3)若从被调查的学生中任意抽取一名,求取出的这名学生最喜欢的职业是“教师”的概率.
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【题目】在平直角坐标系中,规定:抛物线的相关直线为.例如:二次函数的相关直线为.
(1)直接写出抛物线的相关直线,并求出抛物线与其相关直线的交点坐标;
(2)如图,抛物线与它的相关直线交于、两点.
①求抛物线的解析式;
②连结,求的面积;
③作,过抛物线上一动点(不与、重合)作直线的平行线交于点,若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点的横坐标.
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【题目】如图,已知反比例函数y=﹣的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B,以AB为底作等腰三角形,使∠ACB=120°,且点C的位置随着k的不同取值而发生变化,但点C始终在某一函数图象上,则这个图象所对应的函数解析式为__.
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【题目】某工厂有甲、乙两台机器加工同一种零件,已知一小时甲加工的零件数与一小时乙加工的零件数的和为36个,甲加工80个零件与乙加工100个零件的所用时间相等.求甲、乙两台机器每小时分别加工零件多少个?
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【题目】在平面直角坐标系中,直线:与直线分别交于点.直线与交于点.记线段,围成的区域(不含边界)为.横,纵坐标都是整数的点叫做整点.
(1)当时,区域内的整点个数为_____;
(2)若区域内没有整点,则的取值范围是_______.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若AB=2,求△OEC的面积.
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【题目】(问题)
如图1,在中,,过点作直线平行于.,点在直线上移动,角的一边始终经过点,另一边与交于点,研究和的数量关系.
(探究发现)
(1)如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想,发现当点移动到使点与点重合时,通过推理就可以得到,请写出证明过程;
(数学思考)
(2)如图3,若点是上的任意一点(不含端点),受(1)的启发,这个小组过点作交于点,就可以证明,请完成证明过程;
(拓展引申)
(3)如图4,在(1)的条件下,是边上任意一点(不含端点),是射线上一点,且,连接与交于点,这个数学兴趣小组经过多次取点反复进行实验,发现点在某一位置时的值最大.若,请你直接写出的最大值.
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