Question

【题目】（问题）

如图1，在中，，过点作直线平行于．，点在直线上移动，角的一边始终经过点，另一边与交于点，研究和的数量关系．

（探究发现）

（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点移动到使点与点重合时，通过推理就可以得到，请写出证明过程；

（数学思考）

（2）如图3，若点是上的任意一点（不含端点），受（1）的启发，这个小组过点作交于点，就可以证明，请完成证明过程；

（拓展引申）

（3）如图4，在（1）的条件下，是边上任意一点（不含端点），是射线上一点，且，连接与交于点，这个数学兴趣小组经过多次取点反复进行实验，发现点在某一位置时的值最大．若，请你直接写出的最大值．

Answer 1

【答案】【探究发现】（1）见解析；【数学思考】（2）见解析；【拓展引申】（3）时，有最大值为2．

【解析】

根据等腰三角形的性质及平行的定义即可解得

根据证明即可推出

过点作交于点，连接，可证明，再推出即可得=，则.

证明：【探究发现】

（1）∵

∴

∵

∴，且

∴

∴

即

【数学思考】

（2）∵

∴

∴，

∵

∴，且，

∴

∴

【拓展引申】

（3）如图4，过点作交于点，连接，

∵，

∴

∵

∴

∴

∴，且

∴

∴

∵，

∴

∴

∴

∴

∴

∵

∴点，点，点，点四点共圆，

∴

∴，且

∴

∴

∴

∴

∴时，有最大值为2．