Question

8．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，且∠BAC≠60°．
（1）求证：AE与DF互相平分；
（2）当△ABC满足什么条件时AE=DF；
（3）为什么题中有条件∠BAC≠60°．

Answer 1

分析 （1）四边形ADEF是平行四边形，可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）当∠BAC=60°时，四边形ADEF不存在．

解答 （1）证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC与△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠DBE=∠ABC}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分；

（2）解：当∠BAC=150°时，AE=DF，
理由是：∵△ABD和△ACF是等边三角形，
∴∠DAB=∠FAC=60°，
∵∠BAC=150°，
∴∠DAF=360°-60°-60°-150°=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE=DF，
∴∠BAC=150°时，AE=DF；

（3）当∠BAC=60°时，四边形ADEF中的A点与E点重合，
此时以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．

点评 本题考查了等边三角形的性质全等三角形的判定及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键．