Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；

（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x﹣5；（2）20；（3）

【解析】

（1）根据题意可以求得a、b的值，从而可以求得抛物线的表达式；（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；（3）根据题意可以求得直线AB的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可解答本题．

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），

∴，得，

∴此抛物线的表达式是y=x2+4x﹣5；

（2）∵抛物线y=x2+4x﹣5交y轴于点A，

∴点A的坐标为（0，﹣5），

∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，

∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，

当y=﹣5时，﹣5=x2+4x﹣5，得x=0或x=﹣4，

∴点D的坐标为（﹣4，﹣5），

∴AD=4，

∴△EAD的面积是：=20；

（3）设点P的坐标为（p，p2+4p﹣5），如右图所示，

设过点A（0，﹣5），点B（﹣5，0）的直线AB的函数解析式为y=mx+n，

，得，

即直线AB的函数解析式为y=﹣x﹣5，

当x=p时，y=﹣p﹣5，

∵OB=5，

∴△ABP的面积是：S=，

∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，

∴﹣5＜p＜0，

∴当p=﹣时，S取得最大值，此时S= ，点p的坐标是（-，﹣），

即点p的坐标是（-，﹣）时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是．