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【题目】已知:如图,在正方形ABCD中,点EF分别在BCCD上,AE=AF

1)求证:BE=DF

2)连接ACEF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EMFM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.

【答案】1)见解析;(2)四边形AEMF是菱形,见解析.

【解析】

1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证ABE≌△ADF
2)由于四边形ABCD是正方形,易得∠ECO=FCO=45°BC=CD;联立(1)的结论,可证得EC=CF,根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF;已知OA=OM,则EFAM互相平分,再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,即可判定四边形AEMF是菱形.

解:(1)∵ABCD是正方形,

AB=AD,∠B=D=90°,

又∵AE = AF,

HL,

BE = DF;

2)四边形AEMF是菱形,理由为:
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BCA=DCA=45°(正方形的对角线平分一组对角),
BC=DC(正方形四条边相等),
BE=DF(已证),
BC-BE=DC-DF(等式的性质),
CE=CF
COECOF中,

,

∴△COE≌△COFSAS),
OE=OF,又OM=OA
∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),
AE=AF
∴平行四边形AEMF是菱形.

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选项

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