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【题目】如果两个角之差的绝对值等于45°,则称这两个角互为半余角,即若|α-∠β |45°,则称∠α、∠β互为半余角.(注:本题中的角是指大于且小于180°的角)

1)若∠A80°,则∠A的半余角的度数为  

2)如图1,将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠(点M在线段AD上,点N在线段CD上)使点D落在点D处,若∠AMD与∠DMN互为半余角,求∠DMN的度数;

3)在(2)的条件下,再将纸片沿着PM折叠(点P在线段BC上),点AB分别落在点AB处,如图2.若∠AMP比∠DMN,求∠AMD的度数.

【答案】135°或125°;(245°或75°;(310°或130°.

【解析】

1)设∠A的半余角的度数为x°,根据半余角的定义列方程求解即可;

2)设∠DMNx°.根据折叠的性质和半余角的定义解答即可;

3)分两种情况讨论:①当∠DMN=45°时,∠DMD'=90°,∠AMP=50°,∠DMA'=80°,根据∠AMD′=DMD'-DMA'计算即可.

②当∠DMN=75°时,∠DMD'=150°,∠AMP=80°,∠DMA'=20°,根据∠AMD′=DMD'-DMA'计算即可.

1)设∠A的半余角的度数为x°,根据题意得:

|80°-x|=45°

80°-x=±45°

x=80°±45°,

x=35°或125°.

2)设∠DMNx°,根据折叠的性质得到∠D'MN=DMN=x°.

∴∠AMD'=180°-2x.

∵∠AMD与∠DMN互为半余角

|180°-2xx|=45°,

|180°-3x|=45°,

180°-3x=45°或180°-3x=45°,

解得:x=45°或x=75°.

3)分两种情况讨论:①当∠DMN=45°时,∠D'MN=45°,

∴∠DMD'=90°,∠AMP=A'MP=45°+5°=50°,

∴∠DMA'=180°-2AMP=80°,

∴∠AMD′=DMD'-DMA'=90°-80°=10°.

②当∠DMN=75°时,∠D'MN=75°,

∴∠DMD'=150°,∠AMP=A'MP=75°+5°=80°,

∴∠DMA'=180°-2AMP=20°,

∴∠AMD′=DMD'-DMA'=150°-20°=130°.

综上所述:∠AMD的度数为10°或130°.

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1)如图1,若点DAB上,则∠EBC的度数为  

2)如图2,若∠EBC170°,则∠α的度数为  

3)如图3,若∠EBC118°,求∠α的度数;

4)如图3,若<∠α60°,求∠ABE-∠DBC的度数.

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A.B.

C.D.

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