Question

19．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM²=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）作MN⊥QC，根据相似三角形的判定得出△MQN∽△PQC，根据相似三角形的性质得出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，求出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}=\frac{QN}{QC}$=$\frac{1}{2}$，求出PC=20-x，MN=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$（QB+10），根据相似三角形的性质求出BQ，求出BN=x-5，根据勾股定理得出y=$\frac{5}{4}$x²-20x+125（0≤x≤20），化成顶点式，即可求出最值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M为PQ的中点，
∴N为CQ的中点，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}=\frac{QN}{QC}$=$\frac{1}{2}$，
又∵PC=DC-DP=20-x
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-x），QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}$=$\frac{x}{BQ}$，
∴BQ=2x，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10）=$\frac{1}{2}$（2x+10）=x+5，
∴BN=QB-QN=2x-（x+5）=x-5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=[$\frac{1}{2}$（20-x）]²+（x-5）²，
即：y=$\frac{5}{4}$x²-20x+125，（0≤x≤20），
当x=8，即DP=8时，线段BM长的最小值=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．