Question

如图，已知，MN是AD的垂直平分线，点C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5， BD交MN于点E，交AC于点F，连接AE．  

（1）求∠CBE，∠CAE的度数；

（2）求AE²+BE²的值．

 

Answer 1

解：连接CD．

（1）∵ MN垂直平分AD，点C，E在MN上，

∴ 根据点A，D关于MN的对称性，得 CA=CD，∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE．

∵ CA=CB，

∴ CB=CD．

∴ ∠CBE=∠CDB，

∴ ∠CBE=∠CAE，

∵ ∠MCA=20°，

∴ ∠MCD=20°．

∵ ∠ACB=90°，

∴ ∠BCD=130°．

∴ ∠CBE=∠CDB=25°，     　　  

∠CAE=∠CDB=∠CBE =25°．　　　　

（2）∵∠CFE既是△AEF的外角又是△BCF的外角，

∴ ∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB．

∵ ∠CAE=∠CBE，

∴ ∠AEB=∠ACB=90°．                    …

∴ AE²+BE²= AB²．

∵ ∠ACB=90°，CA=CB， AC=5，

∴ AB²=AC²+BC²= 50．

∴ AE²+BE²= AB²=AC²+BC²= 50．