Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图，求证：MN²=AM²+BN²．
（提示：考虑MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决，可将△ACM绕点C逆时针旋转90°，得△CBD，连DN，只需要DN=MN，∠DBN=90°即可，也可用其它证法）

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线；证明MP=AM；证明△PCN≌△BCN，得到BN=PN，∠NPC=∠B=45°；进而证明∠MPN=90°；运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：如图，作△AMC的对称△PMC，连接PN；
∵∠ACB=90°，CA=CB，∠MCN=45°，
∴∠A=∠B=45°，∠ACM+∠BCN=45°；
由题意得：CP=CA，∠ACM=∠PCM（设为α），
∠MPC=∠A=45°；
∵∠PCN=45°-α，∠BCN=45°-α，
∴∠PCN=∠BCN；
在△PCN与△BCN中，

PC=BC ∠PCN=∠BCN NC=NC

，
∴△PCN≌△BCN（SAS），
∴BN=PN，∠NPC=∠B=45°，
∴∠MPN=90°；
由勾股定理得：MN²=MP²+NP²，
∵AM=MP，BN=NP，
∴MN²=AM²+BN²．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定及其性质、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．