Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：

（1）∠BOD=∠C；

（2）四边形OBCD是菱形．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；

（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．

（1）延长OA到E，如图所示：

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

又∠BOE=∠ABO+∠BAO，

∴∠BOE=2∠BAO，

同理∠DOE=2∠DAO，

∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）

即∠BOD=2∠BAD，

又∠C=2∠BAD，

∴∠BOD=∠C；

（2）连接OC，

∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，

∴△OBC≌△ODC，

∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，

∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，

∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，

又∠BOD=∠BCD，

∴∠BOC=∠BCO，

∴BO=BC，

又OB=OD，BC=CD，

∴OB=BC=CD=DO，

∴四边形OBCD是菱形．