Question

12．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．
（1）B点坐标是（$\sqrt{3}$m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO=30°；
（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．
①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
②当$\frac{EB}{EO}$=$\frac{1}{2}$时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；
（2）①分别利用∠NEB=90°和∠ENB=90°，结合切线的性质得出m的值；
②首先求出NG：EN=$\sqrt{15}：4$，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．

解答 解：（1）当y=0，则0=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m，
解得：x=$\sqrt{3}$m，
故B点坐标是$（\sqrt{3}m，0）$（用含m的代数式表示），
∵一次函数y=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+m与y轴交于点（0，m），
∴tan∠ABO=$\frac{m}{\sqrt{3}m}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°；
故答案为：（$\sqrt{3}$m，0），30；

（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP
若∠NEB=90°，∵NE是⊙P的切线，
∴∠PNE=90°，
∵∠POE=90°，
∴四边形OPNE是矩形，
∴PN=2，∠APN=90°，
在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴m=2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
若∠ENB=90°，∵NE是⊙P的切线，
∴∠PNE=90°，
∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，
∴m=2，
综上可知，m=2或2+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，
则PA=m-2，PH=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}（m-2）$，
∵$\frac{EB}{EO}$=$\frac{1}{2}$，∴EB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，EN=EO=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}m$，EG=$\frac{1}{2}EB=\frac{{\sqrt{3}}}{6}m$，
∴EG：EN=1：4，∴NG：EN=$\sqrt{15}：4$，
∵∠PNE=90°，∴∠PNH+∠ENG=90°，
∵∠GNE+∠NEG=90°，
∴∠NEG=∠PNH，
∵∠PHN=∠EGN=90°，
∴△PHN∽△NGE，
∴$\frac{NG}{EN}$=$\frac{PH}{PN}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}（m-2）}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
解得：m=$2+\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．