Question

如图1，在△ABC中，AD、BE都是高，两高相交于F．
（1）与△ADC相似的三角形一共有

 

个；
（2）求证：∠1=∠2；（有两种证法）
（3）如图2，当∠C=60°时，△CDE与△CAB的周长比为

 

：

 

、面积比=

 

：

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由条件可得∠AFE=∠BFD=∠C，可得到和△ADC相似的有△BEC、△AEF、△BDF共三个；
（2）由△AEF∽△BDF可得到

AF

BF

=

EF

DF

，可证△ABF∽△EDF，可得到∠1=∠2；或由△ADC∽△BEC可得到

AC

BC

=

CD

CE

，即

AC

CD

=

BC

CE

，可知△CDE∽△CAB，可得到∠CDE=∠BAE，再利用条件也可得到∠1=∠2；
（3）由△ADC∽△BEC可得到

AC

BC

=

CD

CE

，即

AC

CD

=

BC

CE

，可知△CDE∽△CAB，且

CD

AC

=

1

2

可得出结论．

解答：解：（1）∵AD、BE都是高，
∴∠AEF=∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EAF+∠C=∠FBD+∠C=90°，∠AFE+∠BAE=∠BFD+∠FBD=90°，
∴∠AFE=∠BFD=∠C，
∴△ADC∽△BEC∽△AEF∽△BDF，
∴与△ADC相似的三角形有三个，
故答案为：三；
（2）方法一：
∵△AEF∽△BDF
∴

AF

BF

=

EF

DF

，且∠AFE=∠BFD，
∴△ABF∽△EDF，
∴∠1=∠2；
方法二：
∵△ADC∽△BEC，
∴

AC

BC

=

CD

CE

，
∴

AC

CD

=

BC

CE

，且∠ECD=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠CDE=∠BAE，
∵∠BAC+∠1=∠CDE+∠2，
∴∠1=∠2；
（3）由（2）可知△CDE∽△CAB，
∵∠C=60°，
∴

CD

CA

=cos60°=

1

2

，
∴△CDE和△CAB的周长比为1：2，面积比为1：4，
故答案为：1；2；1；4．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意直角三角形两锐角互余的利用．