Question

8．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=3.5cm，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据平行线的性质得出∠DEC=∠B=90°，然后在△DCE中根据三角形内角和定理得出∠DCE的度数，从而得出∠DCF的度数，在△CDF中根据等角对等边证明出△FCD是等腰三角形；
（2）先证明△ACB≌△CDE，得出AC=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．

解答 （1）证明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）解：在△ACB和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DEC=90°}\\{BC=DE}\\{∠ACB=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△CDE，
∴AC=CD，
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=3.5，
∴AC=2AB=7，
∴CD=7．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．