Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，对称轴交AB于点E，交x轴于点F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上对称轴左侧一点，连接EP，若tan∠BEP＝，求点P的坐标；

（3）M是直线CD上一点，N是抛物线上一点，试判断是否存在这样的点N，使得以点B，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）点P的坐标为（2﹣2，2）或（，）；（3）存在，满足条件的N点坐标为（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．

【解析】

（1）将点A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c即可求解析式；

（2）求出直线AB、CD的解析式，点E的坐标（2，2），由已知可得∠BEP＝∠BAO，分两种情况求P点坐标：①过点E作EQ∥x轴交抛物线于点P1，交y轴于点Q，当y＝2时求P1点坐标；②作点Q关于AB的对称点Q'，连接BQ'，EQ'，过点Q'作Q'H⊥y轴于点H，过点E作EG⊥Q'H于点G，可以证明△BHQ'∽△Q'GE，得到 ，设BH＝m，则Q'G＝2m，GE＝m+1，HQ'＝（m+1），由HQ'+Q'G＝HG＝2，求出m＝，可求Q'（，），直线EQ'的解析式为y＝﹣x+，联立方程组并解答，即可求P点坐标；

（3）由平行四边形对角线互相平分，分两种情况求解：①BE∥MN时，BN的中点与EM的中点重合；②当BM∥NE时，BE的中点与MN的中点重合；建立关系式求出N点坐标．

解：（1）将点A（6，0），C（﹣2，0）代入y＝ax2+x+c，

则有 ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；

（2）由题可求B（0，3），D（2，4），

设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，

将A（6，0），B（0，3）代入可得 ，

∴ ，

∴y＝﹣x+3，

设直线CD的解析式为y＝k2x+b2，

将C（﹣2，0），D（2，4）代入可得 ，

∴，

∴y＝x+2，

∵抛物线的对称轴为x＝2，

∴E（2，2），

∴tan∠BAO＝，

∵tan∠BEP＝，

∴∠BEP＝∠BAO，

①如图1：过点E作EQ∥x轴交抛物线于点P1，交y轴于点Q，

当y＝2时，﹣x2+x+3＝2，

解得x＝2﹣2 或x＝2+2（舍），

∴P1（2﹣2，2）；

②在①中，点Q坐标为（0，2），作点Q关于AB的对称点Q'，连接BQ'，EQ'，

则BQ'＝BQ＝1，EQ'＝EQ＝2，

过点Q'作Q'H⊥y轴于点H，过点E作EG⊥Q'H于点G，

∵∠BQ'E＝90°，

∴∠BQ'H＝90°﹣∠GQ'E＝∠Q'EG，

∵∠BHQ'＝∠Q'GE＝90°，

∴△BHQ'∽△Q'GE，

∴，

∴设BH＝m，则Q'G＝2m，GE＝m+3﹣2＝m+1，HQ'＝（m+1），

∵HQ'+Q'G＝HG＝2，

∴（m+1）+2m＝2，

∴m＝，

∴HO＝，HQ'＝，

∴Q'（，），

易得直线EQ'的解析式为y＝﹣x+，

解方程组 ，

解得 或（舍），

∴P2（，）；

综上所述：点P的坐标为（2﹣2，2）或（，）；

（3）∵M是直线CD上一点，N是抛物线上一点，

设M（m，m+2），N（x，﹣x2+x+3），已知B（0，3），E（2，2），

①当BE∥MN时，BN的中点为（ ），ME的中点为（ ，），

∴，

∴x＝±4，

∴N（4，3）或N（﹣4，﹣5）；

②当BM∥NE时，BE的中点为（1，），MN的中点为（ ），

∴ ＝1， ，

∴x＝±2，

∴N（2，1+2）或N（﹣2，1﹣2）；

综上所述：满足条件的N点坐标为（4，3）或（﹣4，﹣5）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）．