Question

【题目】 如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，连接CD，OC．

（1）求证：AC∥DE；

（2）若OA=AE，求证：△AFO≌△CFD；

（3）若OA=AE=2，则四边形ACDE的面积是______．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）2．

【解析】

（1）先根据切线的性质得出OD⊥DE，再根据垂定定理得出OD⊥AC，即可得出结论；

（2）先判断出OE=2OD，进而得出∠E=30°，进而得出∠C=30°=∠OAF，即可用ASA判断出△AFO≌△CFD；

（3）先求出△ODE的面积，再根据（2）△AFO≌△CFD，得出S△AFO=S△CFD，即可得出结论．

（1）证明：∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∵F为⊙O中弦AC的中点，

∴OD⊥AC，

∴AC∥DE；

（2）解：如图，

连接CD，由（1）知，OD⊥DE，

∴∠ODE=90°，

∵OA=AE，

∴OE=AE+OA=2OA，

∵OA=OD，

∴OE=2OD，

在Rt△ODE中，OE=2OD，

∴∠E=30°，

∴∠DOE=90°-30°=60°，

∴∠C=∠AOD=30°，

由（1）知，AC∥DE，

∴∠OAF=∠E=30°=∠C，

∵点F是AC的中点，

∴AF=CF，

由（1）知，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠CFD=90°，

在△AFO和△CFD中，

∴△AFO≌△CFD（ASA）；

（3）∵OA=AE=2，

∴OE=OA+AE=4，OD=OA=2，

根据勾股定理得，DE===2，

∴S△ODE=ODDE=×2×2=2

由（2）知，△AFO≌△CFD，

∴S△AFO=S△CFD，

∴S四边形ACDE=S四边形DEAF+S△CFD=S四边形DEAF+S△AFO=S△ODE=2，

故答案为：2．