【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B.
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣6x+5, B(5,0);(2)当M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18;(3)PC+PA的最小值为,理由详见解析.
【解析】
(1)由直线y=﹣5x+5求点A、C坐标,用待定系数法求抛物线解析式,进而求得点B坐标.
(2)从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM;由点A、B、C坐标求△ABC面积;设点M横坐标为m,过点M作x轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长,进而求△ABM的面积,得到△ABM面积与m的二次函数关系式,且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值,进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值.
(3)作点D坐标为(4,0),可得BD=1,进而有,再加上公共角∠PBD=∠ABP,根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP,得等于相似比,进而得PD=AP,所以当C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小.用两点间距离公式即求得CD的长.
解:(1)直线y=﹣5x+5,x=0时,y=5
∴C(0,5)
y=﹣5x+5=0时,解得:x=1
∴A(1,0)
∵抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点
∴ 解得:
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5
当y=x2﹣6x+5=0时,解得:x1=1,x2=5
∴B(5,0)
(2)如图1,过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1,0),B(5,0),C(0,5)
∴AB=5﹣1=4,OC=5
∴S△ABC=ABOC=×4×5=10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m,m2﹣6m+5)(1<m<5)
∴MH=|m2﹣6m+5|=﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM=ABMH=×4(﹣m2+6m﹣5)=﹣2m2+12m﹣10=﹣2(m﹣3)2+8
∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[﹣2(m﹣3)2+8]=﹣2(m﹣3)2+18
∴当m=3,即M(3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18
(3)如图2,在x轴上取点D(4,0),连接PD、CD
∴BD=5﹣4=1
∵AB=4,BP=2
∴
∵∠PBD=∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD=AP
∴PC+PA=PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时,PC+PA=PC+PD=CD最小
∵CD=
∴PC+PA的最小值为
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【题目】如图,一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=(k为常数且k≠0)的图象交于A(﹣1,a),B两点,与x轴交于点C.
(1)求此反比例函数的表达式;
(2)若点P在x轴上,且S△ACP=S△BOC,求点P的坐标.
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【题目】如图1,△ABC为等腰三角形,AB=AC=a,P点是底边BC上的一个动点,PD∥AC,PE∥AB.
⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ;
⑵点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形,请说明理由;
⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2),其他条件不变,点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形(不必说明理由).
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【题目】如图1,一次函数y=﹣x+10的图象交x轴于点A,交y轴于点B.以P(1,0)为圆心的⊙P与y轴相切,若点P以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移,同时⊙P的半径以每秒增加1个单位的速度不断变大,设运动时间为t(s)
(1)点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,∠OAB= °;
(2)在运动过程中,点P的坐标为 ,⊙P的半径为 (用含t的代数式表示);
(3)当⊙P与直线AB相交于点E、F时
①如图2,求t=时,弦EF的长;
②在运动过程中,是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由(利用图1解题).
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【题目】如图,在单位为1的方格纸上,△A1A2A3,△A3A4A5,△A5A6A7,…,都是斜边在x轴上,斜边长分别为2,4,6,…的等直角三角形,若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2,0),A2(1,1),A3(0,0),则依图中所示规律,A2019的坐标为( )
A.(﹣1008,0)B.(﹣1006,0)C.(2,﹣504)D.(1,505)
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【题目】实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间(时)的关系可近似地用二次函数刻画;1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?
②当=5时,y=45.求k的值.
(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.
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【题目】已知,△ ABC 在直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A(-2,2)、B(-1,0)、C(0,1)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ ABC 关于 y 轴的轴对称图形△ A1B1C1;
(2)一点 O 为位拟中心,在网格内画出所有符合条件的△ A2B2C2,使△ A2B2C2 与△ A1B1C1 位拟,且位拟比为 2:1;
(3) △ A1B1C1 与△ A2B2C2 的面积比为 .
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【题目】如图,等边三角形ABC的边长为4, 点O是的中心, ∠FOG = 120°, 绕点O旋转∠FOG,分别交线段AB、BC于D、 E两点,连接DE,给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号)
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