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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5x轴,y轴分别交于AC两点,抛物线yx2+bx+c经过AC两点,与x轴的另一交点为B

1)求抛物线解析式及B点坐标;

2)若点Mx轴下方抛物线上一动点,连接MAMBBC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;

3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PCPA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的值最小,请求出这个最小值,并说明理由.

【答案】1yx26x+5 B50);(2)当M3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18;(3PC+PA的最小值为,理由详见解析.

【解析】

1)由直线y=﹣5x+5求点AC坐标,用待定系数法求抛物线解析式,进而求得点B坐标.

2)从x轴把四边形AMBC分成ABCABM;由点ABC坐标求ABC面积;设点M横坐标为m,过点Mx轴的垂线段MH,则能用m表示MH的长,进而求ABM的面积,得到ABM面积与m的二次函数关系式,且对应的a值小于0,配方即求得m为何值时取得最大值,进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值.

3)作点D坐标为(40),可得BD1,进而有,再加上公共角∠PBD=∠ABP,根据两边对应成比例且夹角相等可证PBD∽△ABP,得等于相似比,进而得PDAP,所以当CPD在同一直线上时,PC+PAPC+PDCD最小.用两点间距离公式即求得CD的长.

解:(1)直线y=﹣5x+5x0时,y5

C05

y=﹣5x+50时,解得:x1

A10

∵抛物线yx2+bx+c经过AC两点

解得:

∴抛物线解析式为yx26x+5

yx26x+50时,解得:x11x25

B50

2)如图1,过点MMHx轴于点H

A10),B50),C05

AB514OC5

SABCABOC×4×510

∵点Mx轴下方抛物线上的点

∴设Mmm26m+5)(1m5

MH|m26m+5|=﹣m2+6m5

SABMABMH×4(﹣m2+6m5)=﹣2m2+12m10=﹣2m32+8

S四边形AMBCSABC+SABM10+[2m32+8]=﹣2m32+18

∴当m3,即M3,﹣4)时,四边形AMBC面积最大,最大面积等于18

3)如图2,在x轴上取点D40),连接PDCD

BD541

AB4BP2

∵∠PBD=∠ABP

∴△PBD∽△ABP

PDAP

PC+PAPC+PD

∴当点CPD在同一直线上时,PC+PAPC+PDCD最小

CD

PC+PA的最小值为

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