Question

【题目】如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB．

⑴用a表示四边形ADPE的周长为 ；

⑵点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；

⑶如果△ABC不是等腰三角形(图2)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．

Answer 1

【答案】⑴2a；⑵见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）由题意可得四边形ADPE为平行四边形，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得DB=DP，即可求四边形ADPE的周长；

（2）当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得AE=EP，则平行四边形ADPE是菱形；

（3）P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，首先证明四边形ADPE是平行四边形，再根据平行线的性质可得∠1=∠3，从而可证出∠2=∠3，进而可得AE=EP，然后可得四边形ADPE是菱形．

解：⑴∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四边形ADPE为平行四边形，

∴AD=PE，DP=AE，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DP∥AC，

∴∠B=∠DPB，

∴DB=DP，

∴四边形ADPE的周长=2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB=2a；

故答案为：2a；

⑵当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形．

理由如下：连结AP，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四边形ADPE为平行四边形，

∵AB=AC，P为BC中点，

∴∠PAD=∠PAE，

∵PE∥AB，

∴∠PAD=∠APE，

∴∠PAE=∠APE，

∴EA=EP，

∴四边形ADPE是菱形；

⑶P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形，

∵PD∥AC，PE∥AB，

∴四边形ADPE是平行四边形，

∵AP平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

∵AB∥EP，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AE=EP，

∴四边形ADPE是菱形．