Question

8．（1）如图，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＞∠C，探究∠DAE与∠B，∠C的数量关系．
（2）如图，F为AE上一点，FD⊥BC于D，则（1）中结论是否仍然成立？若成立说明理由；
（3）当点F在AE延长线上时，其余条件不变，则（1）中结论还能成立，画出图形并直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠BAD，代入∠EAD=∠BAE-∠BAD求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠BAD，代入∠EAD=∠BAE-∠BAD求出∠EAD，推出∠FEM=∠EAD，即可得出答案；
（3）先根据AE平分∠BAC推出∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$[180°-（∠C+∠B）]，再根据外角的定义求出∠FED=∠C+∠CAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°-∠FED．

解答 （1）∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠C-∠B），
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠EAD=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C；

（2）（1）中结论还能成立，如图2，过A作AM⊥BC于M，
∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∵AM⊥BC，
∴∠AMC=90°，
∴∠BAM=90°-∠B，
∴∠EAM=∠BAE-∠BA=$\frac{1}{2}$（180°-∠C-∠B）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C；
∵AM⊥BC，FD⊥BC，
∴AM∥FD，
∴∠EFD=∠EAM，
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C；

（3）（1）中结论还能成立，如图3，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC．
∵∠BAC=180°-（∠C+∠B）；
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$[180°-（∠C+∠B）]；
∴∠FED=∠B+∠BAE=∠B+$\frac{1}{2}$[180°-（∠C+∠B）]=90°+$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
又∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°；
∴∠EFD=90°-[90°+$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）]=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出∠CAE和∠CAD的度数，题目比较典型，求解过程类似．