Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）由平行线性质和角平分线性质易证明，BC=CD，因为AB∥CD且AB=BC，即可证明．

（2）直角三角形斜边的中线是斜边的一半，所以OE=OA=OC，菱形角平分线相互垂直平分，用勾股定理即可算出OC的长．

（1）∵AB∥CD，

∴∠ABD＝∠CDB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD

∴∠CDB＝∠CBD，

∴BC＝CD，且AB＝BC

∴CD＝AB，且AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO＝2

∵AO＝ ＝＝4

∵CE⊥AB，AO＝CO

∴EO＝AO＝CO＝4．