Question

9．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°．求证：
（1）AD•AE=AB•DE；
（2）BC²=DB•CE．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠DAB+∠CAE=60°，根据外角的性质得到∠CAE+∠E=∠ACB=60°，求得∠DAB=∠E，根据邻补角的定义得到∠ABD=∠ACE=120°，推出△ABD∽△ADE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AE}$，即可得到结论；
（2）根据（1）的结论证得△ABD∽△ECA可知$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$，即AB•AC=BD•CE，故可得出结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∵∠ACB是△ACE的外角，
∴∠CAE+∠E=∠ACB=60°，
∴∠DAB=∠E，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AB}{AE}$，
∴AD•AE=AB•DE；

（2）∵∠DAB=∠E，∠ABC=∠ACE=120°，
∴△ABD∽△AEC，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BD}{AC}$，
即AB•AC=BD•CE，
∵AB=AC=BC，
∴BC²=BD•CE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．