Question

如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A．过点P的任一直线交⊙O于B、C两点，连接AB、AC，连接PO并延长交⊙O于D、E两点．
（1）求证：∠PAB=∠C；
（2）如果PA²=PD•PE，则当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）过A点作直径AF，连接BF，求得∠ABF=90°，即∠F+∠BAF=90°，PA切⊙O于点A．得出∠PAF=90°，即∠PAB+∠BAF=90°，从而求得∠PAB=∠F，根据同弧所对的圆周角相等得出∠F=∠C，进而求得∠PAB=∠C；
（2）根据切割线定理得出PA²=PD•PE，进而求得PE=4，因为DE=PE-PD，即可求得圆的直角，从而求得圆的半径．

解答：（1）证明：过A点作直径AF，连接BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠F+∠BAF=90°，
∵PA切⊙O于点A．
∴∠PAF=90°，
∴∠PAB+∠BAF=90°
∴∠PAB=∠F，
∵∠F=∠C，
∴∠PAB=∠C；

（2）解：∵PA切⊙O于点A，PDE是⊙O的割线，
∴PA²=PD•PE，
∵PA=2，PD=1，
∴PE=4，
∴DE=PE-PD=4-1=3，
∴OD=OE=

3

2

，
∴⊙O的半径为

3

2

；

点评：本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，切割线定理等，是中档题，解题时要注意圆周角定理的应用和切割线定理的合理运用．