Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP 交于点O，并分别与边CD，BC 交于点F,E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=0EOP；③；④当BP=1时，，其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，继而可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；证明△DAO∽△APO，根据相似三角形的性质得到AO2=ODOP，由OD≠OE，得到OA2≠OEOP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=，求得QE=，QO=，OE=，由三角函数的定义即可得到结论．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中，

，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP，故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴，

∴AO2=ODOP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OEOP；故②错误；

在△CQF与△BPE中，

，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF与△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF，故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△PBE∽△PAD，

∴，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴，

∴QO=，OE=，

∴AO=5-QO=，

∴tan∠OAE=，故④错误，

故选B．