Question

已知，△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，BE⊥AC，垂足D，AF平分∠BAE交BC于F．求证：∠AFE=30°．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：

分析：作FG⊥AB于G，FM⊥AE于M，FN⊥BE于N，根据等腰三角形性质得出∠ABE=∠EBC=

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∠BAC=60°，根据外角的性质得出∠CBG=60°，然后根据角的平分线的性质得出FG=FM=FN，从而证得EF是∠BEM的平分线，最后根据三角形内角和定理即可证得结论．

解答：证明：作FG⊥AB于G，FM⊥AE于M，FN⊥BE于N，
∵AF平分∠BAE，
∴FG=FM，
∵∠ABC=120°，
∴∠CBG=60°，
∵BA=BC，BE⊥AC，
∴∠ABE=∠EBC=

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∠BAC=60°，
∴∠EBC=∠CBG，
∴FG=FN，
∴FN=FM，
∴EF是∠BEM的平分线，
∴∠BEF=∠FEM=

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∠BEM，
∵∠AFE=180°-∠FAE-∠AEF，
∵∠FAE=

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∠BAE，∠AEF=∠AEB+

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∠BEM，∠BEM=∠BAE+∠ABE=∠BAE+60°，
∴∠AFE=180°-

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∠BAE-∠AEB-

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（∠BAE+60°）=180°-∠BAE-∠AEB-30°=180-（180°-∠ABE）-30°=60°-30°=30°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，角的平分线的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等，作出辅助线证得FG=FM=FN是本题的关键．