Question

已知直线L₁：y₁=2x+3与直线L₂：y₂=kx-1交于A点，A点横坐标为-1，且直线L₁与x轴交于B点，与y轴交于D点，直线L₂与y轴交于C点．
（1）直线L₂的解析式；
（2）直接写出当y₁≤y₂时，自变量x的取值范围；
（3）连结BC，求出S_△ABC；
（4）在直线L₁上是否存在点P，使得S_△BCP=2S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；
（5）在y轴上是否存在一点Q，使得S_△BCQ=2S_△ABC？若存在，请求出点Q的坐标；
（6）在y轴上是否存在一点R，使得S_△ABR=2S_△ABC？若存在，请求出点R的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：

分析：（1）根据A点在直线l₁上，且横坐标为-1，求出A点的坐标，再根据直线l₂过A点，将（-1，1）代入直线l₂解析式，即可求出答案；
（2）根据图象即可求得；
（3）根据已知得出B点的坐标，再根据l₁与y轴交于D点，得出D点和C点的坐标，再根据三角形的面积公式得出S_△ABC．
（4）由于△ABC、△BCP同高，根据已知得出B是AP的中点或A是PB的中点，根据线段中点的求法即可求得；
（5）设Q（0，y），根据S_△BCQ=

1

2

CQ•OB即可求得；
（6）设C到直线L₁的距离为h₁，R到直线L₁的距离为h₂，根据

h1

DC

=

h2

DR

，即可求得DR，进而即可求得R的坐标．

解答：解：（1）∵y₁=2x+3过A点，A点横坐标为-1，
∴y₁=-2+3=1，
∴A（-1，1），
把A（-1，1）代入y₂=kx-1得，1=-k-1，解得k=-2，
∴直线L₂的解析式为y₂=-2x-1．
（2）由图象可得x≤-1时，y₁≤y₂，
（3）L₁与x轴交于B点，则B点坐标为（-

3

2

，0），L₁与y轴交于D点，
则D点坐标为（0，3），L₂与y轴交于C点，则C点坐标为（0，-1），
S_△ABC=S_△BCD-S_△ACD=

1

2

CD•|x_B|-

1

2

CD•|x_A|=1；
（4）存在；
由于△ABC、△BCP同高，若S_△BCP=2S_△ABC，则BP=2AB，
∴B是AP的中点或A是PB的中点，
∵A（-1，1），B（-

3

2

，0），
∴P（-2，-1）或（-

1

2

，2）；
（5）设Q（0，y），
∵S_△ABC=1，S_△BCQ=2S_△ABC，
∴S_△BCQ=

1

2

CQ•OB=

1

2

|y+1|×

3

2

=2×1，解得y=-

11

3

或y=

5

3

，
∴Q（0，-

11

3

）或（0，

5

3

）．
（6）设C到直线L₁的距离为h₁，
∵A（-1，1），B（-

3

2

，0），
∴AB=

(- 3 2 +1)+12

=

5

2

∵S_△ABC=

1

2

AB•h₁=1，
∴h₁=

4 5

5

，
∵S_△ABR=2S_△ABC，由于△ABC、△ABR同底，
∴设R到直线L₁的距离为h₂=

8 5

5

，
∴

h1

DC

=

h2

DR

，
即

4 5 5

4

=

8 5 5

DR

，解得DR=8，
∴R（0，-5）或（0，11）．

点评：本题考查了两直线平行或相交问题，要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数再求得解析式；求三角形的面积时找出高和底边长即可．