Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，3），DE所在的直线是该抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）连接AD，P是AD上的动点，P′是点P关于DE的对称点，连接PE，过点P′作PF∥PE，交x轴于点F，设四边形PP′FE的面积为y，EF=x，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式，然后运用配方法就可求出顶点D的坐标；
（2）易证四边形PP′FE是平行四边形，要求y与x之间的函数关系式，只需求出EF边上的高（即点P的纵坐标），直线AD的解析式可求，由于P是AD上的动点，只需求出点P的横坐标，只需利用PH=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$x就可解决问题．

解答 解：（1）由题可得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得
顶点D的坐标为（1，4）；

（2）设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A（-1，0），D（1，4）代入y=mx+n，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=2x+2．
∵P′是点P关于DE的对称点，
∴PH=P′H，PP′⊥DE．
∵EF⊥DE，∴PP′∥EF．
又∵P′F∥PE，
∴四边形PP′FE是平行四边形，
∴PP′=EF=x，
∴PH=P′H=$\frac{1}{2}$PP′=$\frac{1}{2}$x，
∴PH=x_H-x_P=1-x_P=$\frac{1}{2}$x，
∴x_P=1-$\frac{1}{2}$x．
∵P是AD上的动点，
∴y_P=2（1-$\frac{1}{2}$x）+2=4-x，
∴y=EF•EH=x（4-x）=4x-x²=-x²+4x，
∴y与x之间的函数关系式为y=-x²+4x．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，用x的代数式表示点P的坐标是解决第2小题的关键．