Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，以AD为直径作⊙O，连接BO并延长至E，使得OE=OB，连接AE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BD=$\frac{1}{2}$AD=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）证明△BOD≌△EOA，得到∠OAE=90°，根据切线的判定定理得到答案；
（2）求出∠AOE=45°，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算得到答案．

解答 解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOE=∠DOB}\\{OE=OB}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△EOA，
∴∠OAE=∠ODB=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）∵∠ODB=90°，BD=OD，
∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°，
则阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{45π×{4}^{2}}{360}$=8-2π．

点评 本题考查的是切线的性质和判定和扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键．